Requisitos:
Cálculo III, al menos simultáneamente debe llevarse Cálculo IV
Antecedentes:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Orientaciones Básica y Aplicada

En este curso se aborda la teoría de funciones analíticas de una variable compleja y ver las diferencias entre la teoría de funciones de una variable real y variable compleja.

El desarrollo del curso será enfatizado con una visión geométrica, histórica, numérica y sus aplicaciones más modernas, asimismo se buscará una comprensión razonada y crítica de cada uno de los conceptos, su origen, significado, sintaxis y consecuencias.

1. El campo de los números complejos
1.1. Definición
1.2. Álgebra de números complejos
1.2.a. Suma, producto, raíces y potencias
1.3. Representación geométrica de números complejos y sus operaciones.
1.4. Topología del plano complejo
1.5. Discusión acerca del campo real, el campo complejo y el campo vectorial.

2. Cálculo diferencial de funciones complejas de variable compleja
2.1. Definición y mapeos
2.2. Límites
2.3. Continuidad
2.4. Funciones Analíticas
2.4.a. Diferenciabilidad
2.4.b. Funciones analíticas (Definición, caracterización mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann y mediante la existencia de la serie de Taylor.)
2.4.c. Funciones elementales y su comparación con
funciones elementales de variable real
2.5. Discusión del cálculo diferencial real con el complejo, acerca de sus diferencias.

3. Cálculo integral de variable compleja
3.1. Integral de línea
3.2. Teorema de Cauchy
3.3. Formula integral de Cauchy
3.4. Formula integral de Cauchy para derivadas (Consecuencias del Teorema de Cauchy)
3.5.a. Teorema de Liouville
3.5.b. Teorema de Morera
3.5.c. Teorema fundamental del álgebra

4. Cálculo de residuos y aplicaciones
4.1. Series de Laurent. Definición y existencia
4.2. Calsificación de puntos singulares
4.2.a. Polo
4.2.b. Removible
4.2.c. Esencial
4.3. Teorema del residuo
4.4. Cálculo de integrales
4.4.a. Integrales de variable compleja
4.4.b. Integrales de variable real

2. Ruel V. Churchill, James W. Brown, Roger F. Verhey, Variable Compleja y Aplicaciones, McGraw-Hill 1987

3. Arthur A. Hauser, Variable Compleja,Jr. Ed. Fondo Educativo Interamericano, S. A. 1973

4. , Aleksandrov, A. D. Y otros, La matemática, su contenido, métodos y significado Alianza Universidad, 1976.

Unidad

2 semanas

4 semanas

5 semanas