Requisitos o antecedentes:
Haber terminado satisfactoriamente el bachillerato.

La lógica natural que todos los individuos poseen, comúnmente es suficiente para generar pensamientos en lo general “aceptables” como verdaderos; sin embargo, cuando un individuo decide incursionar en la investigación científica, en particular de las matemáticas, es absolutamente necesario que estos razonamientos sean válidos. En este sentido la lógica científica juega un papel muy importante, ya que auxilia en la elaboración de razonamientos correctos y por ende verdaderos, es decir, facilita el análisis riguroso de una teoría y más aún la generación de conocimiento en la misma.

Por otra parte, la teoría de conjuntos se encuentra en los fundamentos de la matemáticas ya que implícita o explícitamente utiliza conceptos de esta teoría.

Considerando estos dos aspectos en este curso, se pretende mostrar el aspecto semántico de la lógica proposicional y la lógica de predicados de primer orden en lo que respecta a teoría deducción natural; de igual manera se abordarán algunos temas elementales de teoría de conjuntos, sin darle un enfoque axiomático, pero si riguroso, exponiendo lógicamente cada uno de sus conceptos.

Una vez finalizados los dos temas anteriores se utilizarán algunos conceptos de esas teorías para estudiar los temas importantes en matemáticas de: relación, función y morfismos.

El alumno, al finalizar el curso, será capaz de:

a) Identificar la Lógica como un lenguaje simbólico útil en la presentación de los conceptos y resultados matemáticos.

b) Representar y operar el álgebra de los conjuntos.

c) Identificar las relaciones y sus propiedades.

d) Identificará las funciones y sus propiedades.

e) Identificará una estructura algebraica definida en un conjunto.

f) Plantear ejemplos de métodos de razonamiento y demostración en matemáticas conforme se incorporan herramientas (de razonamiento conceptual, operacional ) nuevas en cada unidad.

1. Lógica Proposicional.

1.1. Formalización de frases.
1.2. Definición semántica de conectivas.
1.3. Concepto semántico de conectivas.
1.4. Teorema de la deducción.
1.5. Tautologías asociadas a una deducción correcta.
1.6. El álgebra de Boole, como instrumento del método semántico.
1.7. Métodos de demostración usando conectivas.

2. Lógica de predicados de primer orden.

2.1. Estructura de las proposiciones.
2.1. Teoría semántica del cálculo de predicados.
2.2. El simbolismo de la Lógica Matemática.
2.3. Razonamiento matemático.
2.4. Inducción Matemática.
2.5. Métodos de demostración usando cálculo de predicados e inducción matemática.

3. Teoría Elemental de Conjuntos.

3.1. Conjuntos y subconjuntos.
3.2. Operaciones fundamentales con conjuntos.
3.3. Álgebra de Conjuntos.
3.4. Principio de dualidad.
3.5. Conjuntos indizados.
3.6. Operaciones generalizadas.
3.7. Particiones.
3.8. Conjuntos acotados y no acotados.
3.9. Métodos de demostración incorporando álgebra de conjuntos.

4. Relaciones y funciones.

4.1. Relación.
4.2. Relación reflexiva, simétrica, transitiva, de equivalencia.
4.3. Conjunto cociente.
4.4. Clases de equivalencia.
4.5. Relación irreflexiva, asimétrica, antisimétrica.
4.6. Función.
4.7. Función inyectiva.
4.8. Función sobreyectiva.
4.9. Función biyectiva.
4.10. Función producto composición.
4.11. Función recíproca.
4.12. Teorema de la función recíproca.
4.13. Métodos de demostración incorporando relaciones y funciones.

5. Morfismos.

5.1. Isomorfismos.
5.2. Homomorfismos.
5.3. Epimorfismos.
5.4. Monomorfismos.
5.5. Homeomorfismos.
5.6. Endomorfismos.
5.7. Métodos de demostración en morfismos.

Bibliografía Básica.

1. Métodos de Demostración en Matemáticas, Ed. Limusa,

2. José Cuena; Lógica Informática; Alianza Editorial; México; 1986.

3. Seymour Lipschutz; Teoría de Conjuntos y Temas Afines; Schaum; Mc. Graw-Hill; México; 1991.

4. I.N. Herstein; Álgebra Abstracta; Ed. Iberoamérica; México; 1986.

Bibliografía Complementaria.

5. P. Suppes, S. Hill; Introducción a la Lógica Matemática; Editorial Reverté; México; 1990.

6. Gutiérrez Saenz Raul; Introducción a la Lógica; Editorial Esfinge; México; 1988.

7. José Ferrater Mora, Huges Leblanc; Lógica Matemática, Fondo de la cultura económica, México; 1987.

8. Carol Schumacher; Chapter Zero, Fundamental Notions of Abstract Mathematics; Addison-Wesley Higher Mathematics; USA; 1977.

9. Stephen Cole Kleene; Introduction to Metamathematics; D. Van Nostraand Company, Inc., Princeton, New Jersey; USA; 1950.

Unidad

4 semanas

4 semanas

4 semanas

3 semanas

2 semanas