Requisitos o Antecedentes:
Cálculo IV, álgebra Lineal

Este es un curso intermedio de ecuaciones diferenciales ordinarias donde se abordarán métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuestiones teóricas acerca de la existencia, unicidad y estabilidad de las soluciones y las aplicaciones de las EDOs. Se pondrá énfasis en cada tema en la diferencia entre el desarrollo de las EDOs lineales y aquellas no lineales. Se presenta además una introducción a la teoría cualitativa de EDOs para analizar sistemas dinámicos no lineales, principalmente.

En cada tema se presentará una visión moderna de las EDOs como sistemas dinámicos que permita discutir las cuestiones teóricas de existencia y estabilidad de las trayectorias que presentan las soluciones de las EDOS. Para esto, se estimulará 1 uso de los Sistemas de Cómputo Algebraico que permita visualizar con mayor claridad los conceptos, métodos y aproximaciones que se estudien. También se incluirá en cada capítulo una revisión de los métodos más básicos de aproximación numérica para la obtención de las soluciones de las EDOs: se hará uso de algoritmos sencillos a implementar en el lenguaje propio de los SCA para la aproximación numérica de sus soluciones y su comparación con aquellas obtenidas por los propios SCA y/o soluciones analíticas exactas (cuando sea el caso).

Este curso plantea cubrir temas básicos de Ecuaciones diferenciales Ordinarias desde una perspectiva que incluya seis aspectos: histórico, geométrico, operacional, teórico, roximación numérica, y de aplicaciones.

1. Introducción.
1.1 Definición de Ecuación Diferencial
1.2 Clasificación de Ecuaciones Diferenciales (ordinarias, parciales, lineales, no lineales, vectoriales, escalares y por su orden y grado.)
1.3 Definición de la solución de una ecuación diferencia¡.
1.4 Discusión de¡ origen histórico de las EDOs.

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer Orden.
2.1 Problema con valores iniciales o problema de Cauchy (PC); definición de solución al PC.
2.2 Métodos para resolver EDOPO: separables, exactas, factor integrante, homogéneas.
2,2 Fórmula general para la EDOPO lineal.
2.3 Aspectos geométricos de las EDOPO y sus soluciones (campo direccional).
2.4 Existencia y unicidad de. las soluciones-. condiciones de existencia, unicidad, contraejemplos, etc.
2.5 -Introducción al método de Euler y de Runge-Kutta para aproximación numérica de EDOPO.
2.6 Aplicaciones de las EDOPO en física, biología, ecológía, medicina, teoría del aprendizaje, etc.

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden.
3.1 Introducción.
3.2 EDOSO lineales homogéneas con coeficientes constantes- solución fundamental. 3.2 EDOSO lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
3.3 Métodos de los Coeficientes Indeterminados.
3.4 Método de Variación de Parámetros.
3.5 Aspectos teóricos de las EDOSO-. Existencia, unicidad, estabilidad.
3.6 Introducción a las soluciones en series de las EDOSO.
3.7 Plano fase de una EDOSO autónoma
3.8 Modelo de¡ Oscilador Armónico (libre, amortiguado, forzado).

4. .Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior.
4.1 Introducción
4.2 Teoría general de las ecuaciones lineales de n-ésimo orden.
4.3 La ecuación homogénea con coeficientes constantes.
4.4 Método de los coeficientes indeterminados.
4.5 Método de variación de parámetros.
4.6 Reducción de una EDOS a un sistema de N-EDOPO .
4.7 Existencia y Unicidad de una EDOPO vectorial.

5. Sistemas de EDOS.
5.1 Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
5.2 Solución de sistemas lineales por eliminación.
5.3 Repaso de nociones básicas del álgebra lineal para el tratamiento de los sistemas de EDOPO.
5.4 Teoría básicas de los sistemas de EDOPO lineales.
5.5 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes
constantes.
5.6 Sistemas lineales no-homogéneos.

6. Teoría Cualitativa de las EDOS
1 Soluciones de sistemas autónomos.
2 El plano fase de sistemas lineales.
3 El plano fase de sistemas no lineales.
4 Modelo de Lotka-Volterra.
5 Aspectos teóricos de existencia, unicidad y periodicidad de soluciones.
7 Uso de los SCA para visualizar la Teoría cualitativa de las EDOS.

Unidad

1 semana

4 semanas

2 semanas