Requisitos:
Cálculo II.
Antecedente de:
Cálculo IV.

Para este curso el estudiante deberá tener el dominio del cálculo diferencial e integral de una variable en el sentido conceptual y operativo. Se requiere que haya tenido familiaridad con los conceptos de límite y continuidad y reconocer una amplia gama de funciones y su comportamiento asintótico.
El curso retoma los conceptos arriba mencionados y los usa para el estudio de la convergencia de sucesiones y series. Además proporciona los elementos fundamentales del cálculo diferencial de varias variables y del cálculo diferencial vectorial que le ayudarán en su formación básica en el estudio posterior del análisis matemático y en el área de la matemática aplicada.

1. Sucesiones y series
1.1 Series de términos positivos y negativos
1.2 Series alternantes
1.3 Criterios de convergencia: de comparación, del cociente, de paso al límite, de la raíz, de la integral
1.4 Convergencia condicional y absoluta

2. Series de potencias
2.1 El polinomio de Taylor
2.2 El polinomio de Taylor como un operador
2.3 Cálculo con polinomios de Taylor
2.4 Serie de Taylor
2.5 El error en la serie de Taylor
2.6 Convergencia en las series de Taylor de diversas funciones
2.7 La o minúscula
2.8 Aplicaciones a las indeterminaciones

3. Sucesiones y series de funciones
3.1 Series de Funciones
3.2 Convergencia puntual de una serie funcional
3.3 Convergencia uniforme de una serie funcional
3.4 Criterios para la convergencia uniforme

4. Series de Fourier
4.1 Funciones periódicas y Series de Fourier
4.2 Condiciones de Dirichlet
4.3 Series de Fourier en senos y cosenos
4.4 Derivación en integración de series de Fourier
4.5 Notación compleja para series de Fourier
4.6 Funciones ortogonales.

5. Cálculo diferencial para funciones de varias variables y su generalización a Rn
5.1 Límites y continuidad para funciones escalares de varias variables
5.2 El concepto de derivada parcial y su interpretación geométrica. El plano tangente
5.3 Derivación parcial y derivadas parciales de orden superior
5.4 La derivada direccional, el gradiente
5.5 La derivada de funciones de Rn -> R

6. Optimización
6.1 Desarrollo en serie de Taylor para funciones de varias variables
6.2 Máximos y mínimos relativos. El Hessiano de una función
6.3 Máximos y mínimos absolutos
6.4 Problemas con restricciones. Multiplicadores de Lagrange.

7. Vectores y cálculo diferencial con funciones vectoriales
7.1 Operaciones con vectores, producto interno y producto vectorial, lineas y planos en R3
7.2 Curvas paramétricas
7.3 Funciones vectoriales y longitud de curva
7.4 Los conceptos de velocidad y aceleración
7.5 El concepto de derivada para funciones vectoriales
7.6 Gradiente, divergencia y rotacional

1. Philp M. Anselone y John W. Lee, Multivariable Calculus, Prentice Hall Company 1996
2. Marsden Jerrold E. y Tromba Antony J., Cálculo vectorial, Addison Wesley Company, 1999;
3. Courant Richard y John Fritz, Introducción al cálculo y análisis matemático, Volumen II, editorial Limusa, 1989
4. Tom .M Apostol, Calculus, Volumen II, editorial Reverté.

Unidad

3 semanas

2 semanas

2 semanas