ESTADÍSTICOS DE ASIMETRÍA

Para saber si una distribución de frecuencias es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área. Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribución de frecuencias es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo (figura 1).

Figura 1: Distribuciones de frecuencias simétricas y asimétricas

Cuando la variable es discreta, decimos que es simétrica, si lo es con respecto a la media.

Observación

Se podría pensar que definir la simetría con usando la mediana para variables continuas y usando la media para variables discretas es una elección arbitraria. En realidad esto no es así, pues si una variable es continua, coinciden los ambos criterios de simetría (con respecto a la media y a la mediana). Es más, se tiene que media y mediana coinciden para distribuciones continuas simétricas. Por otro lado,

en el caso de variables discretas, la distribución es simétrica si el lado derecho del diagrama se obtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con la mediana si el número de observaciones es impar.

Si la variable es continua simétrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y la moda.

Dentro de los tipos de asimetría posible, vamos a destacar los dos fundamentales (figura 2):

Asimetría positiva:

Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas (cola).

Asimetría negativa:

Cuando la cola está en el lado izquierdo.

Figura 2: Asimetría positiva y asimetría negativa

Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente improbable que la distribución de frecuencias sea totalmente simétrica. En la práctica diremos que la distribución de frecuencias es simétrica si lo es de un modo aproximado. Por otro lado, aún observando cuidadosamente la gráfica, podemos no ver claro de qué lado están las frecuencias más altas. Conviene definir entonces unos estadísticos que ayuden a interpretar la asimetría, a los que llamaremos índices de asimetría, y que denotaremos mediante .

Índice basado en los tres cuartiles (Yule-Bowley)

Si una distribución es simétrica, es claro que deben haber tantas observaciones entre la que deja por debajo de sí las tres cuartas partes de la distribución y la mediana, como entre la mediana y la que deja por debajo de sí un quarto de todas las observaciones. De forma abreviada esto es,

Una pista para saber si una distribución de frecuencias es asimétrica positiva la descubrimos observando la figura 3

Por analogía, si es asimétrica negativa, se tendrá

Para quitar dimensionalidad al problema, utilizamos como índice de asimetría la cantidad:

Es claro que

El número obtenido,, es invariante ante cambios de origen de referencia y de escala.

Figura 3: Uso de los cuartiles para medir la asimetría

Diremos que hay asimetría positiva si y negativa si