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LA MEDIA

 

La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X es

X

ni

fi

x1

n1

f1

...

...

...

xk

nk

fk

la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:

\begin{eqnarray}\html{eqn0}\overline{x} & = & x_1 \, f_1 + \dots + x_k \, f_k \n... ...mber \\ & = & \frac{1}{n} \, \sum_{i=1}^k x_i \, n_i \nonumber \end{eqnarray}

Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces

\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle \overline{x}= \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} $ } } } \end{displaymath}


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Observación

Hemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores de xi por las marcas de clase correspondientes. En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi. Es decir, habrá una perdida de precisión que será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos.

  

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Proposición

 

La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir,

 

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x}) =0 \end{displaymath}



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Ejemplo

Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero.

li-1 - li

ni

0 - 10

1

10 - 20

2

20 - 30

4

30 - 40

3
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Solución:

li-1 - li

ni

xi

xi ni

$x_i-\overline{x}$

$(x_i-\overline{x})n_i$

0 - 10

1

5

5

-19

-19

10 - 20

2

15

30

-9

-18

20 - 30

4

25

100

+1

+4

30 - 40

3

35

105

+11

+33

 

n=10

 

$\sum x_i n_i=240$

 

$\sum=0$

La media aritmética es:

 

\begin{displaymath}\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_in_i = \frac{240}{10}=24 \end{displaymath}


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A pesar de las buenas propiedades que ofrece la media, ésta posee algunos inconvenientes:

·         Uno de ellos es que es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. En consecuencia,

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